Există posibilitatea ca bateria să fie defectă. Învățăm să rezolvăm probleme de teoria probabilităților în cadrul examenului de stat unificat la matematică. Rezolvarea problemei pe video

Pregătirea pentru examenul unificat de stat la matematică. Materiale utile și analiză video a problemelor din teoria probabilităților.

Materiale utile

Analiza video a sarcinilor

La o masă rotundă cu 5 scaune, 3 băieți și 2 fete sunt așezați în ordine aleatorie. Găsiți probabilitatea ca ambele fete să stea una lângă cealaltă.

În Magic Land există două tipuri de vreme: bună și excelentă, iar vremea, odată stabilită dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că cu o probabilitate de 0,7 vremea mâine va fi aceeași ca azi. Astăzi este 28 martie, vremea în Magic Land este bună. Găsiți probabilitatea ca vremea să fie grozavă în Fairyland pe 1 aprilie.

La campionatul de scufundări concurează 50 de sportivi, inclusiv 8 săritori din Rusia și 10 săritori din Mexic. Ordinea spectacolelor se stabilește prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca un săritor din Rusia să concureze pe locul cincisprezece.

Imaginea prezintă un labirint. Păianjenul se târăște în labirint în punctul „Intrare”. Păianjenul nu se poate întoarce și se târă înapoi, așa că la fiecare bifurcație păianjenul alege una dintre cărările pe care încă nu s-a târât. Presupunând că alegerea căii ulterioare este pur aleatorie, determinați cu ce probabilitate păianjenul va ajunge să iasă din D.

O linie automată produce baterii. Probabilitatea ca o baterie finită să fie defectă este de 0,02. Înainte de ambalare, fiecare baterie trece printr-un sistem de control. Probabilitatea ca sistemul să respingă o baterie defectă este de 0,99. Probabilitatea ca sistemul să respingă din greșeală o baterie funcțională este de 0,01. Găsiți probabilitatea ca o baterie fabricată aleatoriu să fie respinsă de sistemul de inspecție.

Probabilitatea ca bateria să fie defectă este de 0,06. Un cumpărător dintr-un magazin alege un pachet aleatoriu care conține două dintre aceste baterii. Găsiți probabilitatea ca ambele baterii să fie bune.

Selectarea problemelor

1. Misha avea patru bomboane în buzunar - „Grilyazh”, „Vverița”, „Korovka” și „Rândunica”, precum și cheile apartamentului. În timp ce scotea cheile, Misha a scăpat din greșeală o bomboană din buzunar. Găsiți probabilitatea ca bomboana „Grillage” să fi fost pierdută.
2. La concursul de aruncare a loviturii participă 4 sportivi din Finlanda, 7 sportivi din Danemarca, 9 sportivi din Suedia și 5 din Norvegia. Ordinea în care concurează sportivii este stabilită prin tragere la sorți. Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează ultimul să fie din Suedia.
3. Înainte de începerea primei runde a campionatului de badminton, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 26 de jucători de badminton participă la campionat, inclusiv 10 participanți din Rusia, inclusiv Ruslan Orlov. Găsiți probabilitatea ca în primul tur Ruslan Orlov să joace cu vreun jucător de badminton din Rusia?
4. La Campionatul Mondial participă 16 echipe. Folosind loturi, ei trebuie împărțiți în patru grupe a câte patru echipe fiecare. Există cărți cu numere de grup amestecate în casetă: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Căpitanii de echipă trag unul card fiecare . Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a doua?
5. Conferința științifică se desfășoară pe parcursul a 5 zile. Sunt planificate un total de 75 de rapoarte - primele trei zile conțin 17 rapoarte, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca raportul profesorului Maksimov să fie programat pentru ultima zi a conferinței?
6. În medie, din 1000 de pompe de grădină vândute, 5 scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri.
7. Fabrica produce saci. În medie, pentru fiecare 100 de genți de calitate, sunt opt ​​pungi cu defecte ascunse. Găsiți probabilitatea ca geanta achiziționată să fie de înaltă calitate. Rotunjiți rezultatul la sutimi.
8. Un ceas mecanic cu cadran de douăsprezece ore s-a stricat la un moment dat și a încetat să funcționeze. Găsiți probabilitatea ca acul orelor să înghețe, ajungând la ora 10, dar fără a ajunge la ora 1.
9. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca prima dată când aterizează capete, iar a doua oară să aterizeze cozi.
10. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de două ori. Găsiți probabilitatea ca capetele să apară exact o dată.
11. Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea ca să obțineți cel puțin două capete.
12. Într-un experiment aleatoriu, se aruncă două zaruri. Aflați probabilitatea ca totalul să fie de 8 puncte. Rotunjiți rezultatul la sutimi.
13. Trupele concertează la festivalul rock - câte una din fiecare dintre țările declarate. Ordinea executării se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca un grup din Danemarca să evolueze după un grup din Suedia și după un grup din Norvegia? Rotunjiți rezultatul la sutimi.
14. În clasă sunt 26 de persoane, printre care doi gemeni - Andrey și Sergey. Clasa este împărțită aleatoriu în două grupuri de câte 13 persoane fiecare. Găsiți probabilitatea ca Andrei și Serghei să fie în același grup.
15. Sunt 21 de persoane în clasă. Printre ei se numără și două prietene: Anya și Nina. Clasa este împărțită aleatoriu în 7 grupuri, câte 3 persoane. Găsiți probabilitatea asta. că Anya și Nina vor fi în același grup.
16. Trăgătorul trage în țintă o dată. Dacă ratează, trăgătorul trage un al doilea foc către aceeași țintă. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,7. Găsiți probabilitatea ca ținta să fie lovită (fie de prima, fie de a doua lovitură).
17. Dacă marele maestru Antonov joacă alb, atunci el câștigă împotriva marelui maestru Borisov cu probabilitatea de 0,52. Dacă Antonov joacă negru, atunci Antonov câștigă împotriva lui Borisov cu o probabilitate de 0,3. Marii maeștri Antonov și Borisov joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Găsiți probabilitatea ca Antonov să câștige de ambele ori.
18. În magazin sunt trei vânzători. Fiecare dintre ei este ocupat cu un client cu probabilitate 0,3. Găsiți probabilitatea ca la un moment aleatoriu toți cei trei vânzători să fie ocupați în același timp (presupuneți că clienții vin independent unul de celălalt).
19. Probabilitatea ca un nou DVD player să fie reparat în garanție în decurs de un an este de 0,045. Într-un anume oraș, din 1.000 de DVD playere vândute în cursul anului, 51 de unități au fost primite de atelierul de garanție. Cât de diferită este frecvența evenimentului „reparație în garanție” de probabilitatea acestuia în acest oraș?
20. La fabricarea rulmenților cu un diametru de 67 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu cel mult 0,01 mm este de 0,965. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 66,99 mm sau mai mare de 67,01 mm.
21. Care este probabilitatea ca un număr natural selectat aleatoriu de la 10 la 19 să fie divizibil cu trei?
22. Înainte de începerea unui meci de fotbal, arbitrul aruncă o monedă pentru a determina ce echipă va începe cu mingea. Echipa Fizik joacă trei meciuri cu echipe diferite. Găsiți probabilitatea ca în aceste jocuri „Fizicianul” să câștige lotul de exact două ori.
23. Înainte de începerea unui meci de volei, căpitanii de echipă trag la sorți pentru a determina care echipă va începe jocul cu mingea. Echipa „Stator” joacă pe rând cu echipele „Rotor”, „Motor” și „Starter”. Găsiți probabilitatea ca Stator să înceapă doar primul și ultimul joc.
24. În magazin există două automate de plată. Fiecare dintre ele poate fi defect cu probabilitatea de 0,05, indiferent de cealaltă mașină. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o mașină să funcționeze.
25. Pe baza recenziilor clienților, Ivan Ivanovici a evaluat fiabilitatea a două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,8. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,9. Ivan Ivanovici a comandat mărfuri de la ambele magazine deodată. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciun magazin să nu livreze produsul.
26. Un biatlet trage în ținte de cinci ori. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,8. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele trei ori și să rateze ultimele două. Rotunjiți rezultatul la sutimi
27. Camera este iluminată de un felinar cu două lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,3. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului.
28. La examenul de geometrie, studentul primește o întrebare din lista de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare cu cerc înscris este de 0,2. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare pe tema „Paralelogram” este de 0,15. Nu există întrebări care se referă simultan la aceste două subiecte. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.
29. Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 20 de pasageri în autobuz este de 0,94. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 15 pasageri este de 0,56. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie între 15 și 19.
30. Probabilitatea ca un fierbător electric nou să reziste mai mult de un an este de 0,97. Probabilitatea ca acesta să dureze mai mult de doi ani este de 0,89. Găsiți probabilitatea ca acesta să dureze mai puțin de doi ani, dar mai mult de un an.
31. Probabilitatea ca elevul O. să rezolve corect mai mult de 11 probleme la un test de biologie este de 0,67. Probabilitatea ca O. să rezolve corect mai mult de 10 probleme este de 0,74. Aflați probabilitatea ca O. să rezolve corect exact 11 probleme.
32. Pentru a trece în următoarea rundă a competiției, o echipă de fotbal trebuie să marcheze cel puțin 4 puncte în două jocuri. Dacă o echipă câștigă, primește 3 puncte, dacă este egalitate, 1 punct, iar dacă pierde, 0 puncte. Găsiți probabilitatea ca echipa să avanseze în următoarea rundă a competiției. Luați în considerare că în fiecare joc probabilitățile de câștig și de pierdere sunt aceleași și egale cu 0,4.
33. În Magic Land există două tipuri de vreme: bună și excelentă, iar vremea, odată stabilită dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că, cu probabilitatea de 0,8, vremea mâine va fi aceeași ca azi. Astăzi este 3 iulie, vremea în Magic Land este bună. Găsiți probabilitatea ca vremea să fie grozavă în Fairyland pe 6 iulie.
34. În grupul turistic sunt 5 persoane. Folosind loturi, ei aleg doi oameni care trebuie să meargă în sat să cumpere mâncare. Artyom ar dori să meargă la magazin, dar se supune lotului. Care este probabilitatea ca Artem să meargă la magazin?
35. Pentru a intra în institutul pentru specialitatea „Lingvistică”, un solicitant trebuie să obțină cel puțin 70 de puncte la Examenul Unificat de Stat la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, rusă și o limbă străină. Pentru a vă înscrie la specialitatea „Comerț”, trebuie să obțineți cel puțin 70 de puncte la fiecare dintre cele trei materii - matematică, limba rusă și studii sociale. Probabilitatea ca Petrov să primească cel puțin 70 de puncte la matematică este de 0,6, în rusă - 0,8, într-o limbă străină - 0,7 și la studii sociale - 0,5. Găsiți probabilitatea ca Petrov să se poată înscrie la cel puțin una dintre cele două specialități menționate
36. În timpul focului de artilerie, sistemul automat trage un foc în țintă. Dacă ținta nu este distrusă, sistemul trage oa doua lovitură. Loturile se repetă până când ținta este distrusă. Probabilitatea de a distruge o anumită țintă cu prima lovitură este de 0,4, iar la fiecare lovitură ulterioară este de 0,6. Câte lovituri vor fi necesare pentru a se asigura că probabilitatea de a distruge ținta este de cel puțin 0,98?

1. O linie automată produce baterii. Probabilitatea ca o baterie finită să fie defectă este de 0,02. Înainte de ambalare, fiecare baterie trece printr-un sistem de control. Probabilitatea ca sistemul să respingă o baterie defectă este de 0,95. Probabilitatea ca sistemul să respingă din greșeală o baterie funcțională este de 0,01. Găsiți probabilitatea ca o baterie aleasă aleatoriu din pachet să fie respinsă.

O baterie poate fi respinsă în 2 cazuri:

1) Bateria este defectă. În acest caz, probabilitatea respingerii acestuia

2) Bateria este OK. În acest caz, probabilitatea respingerii sale eronate

Deoarece evenimentele „bateria este bună” și „bateria este defectă” sunt incompatibile, probabilitatea ca o baterie aleasă aleatoriu din pachet să fie respinsă

2. Un ceas mecanic cu cadran de douăsprezece ore s-a stricat la un moment dat și a încetat să funcționeze. Găsiți probabilitatea ca orele să înghețe, ajungând la marcajul 9, dar fără a ajunge la marcajul 3.

Acest sector reprezintă jumătate din cadran, deci probabilitatea este de 0,5.

3. În Țara Magică există două tipuri de vreme: bună și excelentă, iar vremea, odată stabilită dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că cu probabilitatea de 0,9 vremea mâine va fi aceeași ca azi. Pe 24 iunie, vremea în Magic Land este bună. Găsiți probabilitatea ca vremea să fie grozavă în Fairyland pe 27 iunie.

Rhor = 0,9, Rotle = 0,1

Probabilitatea unei vremi excelente poate fi găsită într-un mod mai simplu:

4. Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 23 de pasageri în autobuz este de 0,88. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 14 pasageri este de 0,49. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie de la 14 la 22.

Probabilitatea ca numărul de pasageri să fie de la 14 la 22 este egală cu produsul probabilităților a 2 evenimente:

1) Numărul de pasageri va fi mai mare sau egal cu 14, i.e. 1 – 0,49 = 0,51

2) Numărul de pasageri va fi mai mic de 23, adică 0,88

5. Pe baza recenziilor clienților, Mikhail Mikhailovich a evaluat fiabilitatea a două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,85. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,87. Mihail Mihailovici a comandat simultan mărfuri din ambele magazine. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciun magazin să nu livreze produsul.

6. Pentru a intra în institutul pentru specialitatea „Translator”, un solicitant trebuie să obțină cel puțin 75 de puncte la examenul unificat de stat la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, limba rusă și o limbă străină. Pentru a vă înscrie la specialitatea „Afaceri vamale”, trebuie să obțineți cel puțin 75 de puncte la fiecare dintre cele trei discipline - matematică, limba rusă și studii sociale.

Probabilitatea ca solicitantul I. să primească cel puțin 75 de puncte la matematică este de 0,9, în rusă - 0,6, într-o limbă străină - 0,8 și la studii sociale - 0,6.

Aflați probabilitatea ca I. să se poată înscrie la una din specialitățile menționate.

Pentru a fi admis la una dintre specialități, un solicitant trebuie să promoveze un examen de matematicăşi limba rusă şi limba straina sau studii sociale.

7. Probabilitatea ca un elev P. să rezolve corect mai mult de 7 probleme la un test de istorie este de 0,58. Probabilitatea ca P. să rezolve corect mai mult de 6 probleme este de 0,64. Aflați probabilitatea ca P. să rezolve corect exact 7 probleme.

8. La fabricarea rulmenților cu diametrul de 74 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu mai puțin de 0,01 mm este de 0,986. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 73,99 mm sau mai mare de 74,01 mm.

9. Probabilitatea ca un aspirator nou să fie reparat în garanție în decurs de un an este de 0,09. Într-un anume oraș, din 1.000 de aspiratoare vândute în cursul anului, 97 de unități au fost primite de atelierul de garanție. Cât de diferită este frecvența evenimentului „reparație în garanție” de probabilitatea acestuia în acest oraș?

Frecvența evenimentului „reparație în garanție” = 97/1000 = 0,097

0,097 - 0,09 = 0,007

10. În clasă sunt 21 de elevi, printre ei doi prieteni - Oleg și Sergey. Clasa este împărțită aleatoriu în trei grupuri egale. Găsiți probabilitatea ca Oleg și Sergey să fie în același grup.

11. Într-un anume oraș, din 2000 de bebeluși născuți, 1070 sunt băieți. Găsiți frecvența nașterilor fetelor în acest oraș. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată mie.

12. Pentru a trece în următoarea rundă a competiției, o echipă de fotbal trebuie să marcheze cel puțin 9 puncte în două jocuri. Dacă o echipă câștigă, primește 6 puncte, dacă este egalitate, 3 puncte, iar dacă pierde, 0 puncte. Găsiți probabilitatea ca echipa să avanseze în runda următoare a competiției. Luați în considerare că în fiecare joc probabilitățile de câștig și de pierdere sunt aceleași și egale cu 0,3.

Avansarea în runda următoare este posibilă cu două rezultate posibile a două jocuri:

1) Două victorii.

2) Câștigă și egalează

Probabilitatea unei remize 1 - 0,3 - 0,3 = 0,4

Din moment ce ambele opțiuni sunt incompatibile, atunci

13. Trupele concertează la festivalul rock - câte una din fiecare dintre țările declarate. Ordinea executării se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca un grup din Rusia să evolueze după un grup din Germania și după un grup din China? Rotunjiți rezultatul la sutimi.

Există 3 opțiuni posibile:

1) Rusia înaintea Chinei și Germaniei (China și Germania în toate variantele - în orice ordine).

2) Rusia între China și Germania.

3) Rusia după China și Germania.

14. Cowboy John lovește o muscă pe perete cu o probabilitate de 0,9 dacă trage cu un revolver cu zero. Dacă John trage dintr-un revolver nevăzut, el lovește o muscă cu o probabilitate de 0,1. Pe masă sunt 10 revolvere, dintre care doar două au fost împușcate. Cowboy John vede o muscă pe perete, apucă la întâmplare primul revolver pe care îl întâlnește și împușcă musca. Găsiți probabilitatea ca John să rateze.

Probabilitatea unei rateuri de la o armă vizată 1 - 0,9 = 0,1

Probabilitatea unei rateuri de la o armă neîmpușcată 1 – 0,1 = 0,9

Probabilitatea de a alege o armă nevăzătoare este de 0,2, una nevăzătoare este de 0,8

15. O firmă agricolă cumpără ouă de găină de la două gospodării. 55% din ouăle din prima fermă sunt ouă de cea mai înaltă categorie, iar din a doua fermă - 45% din ouăle din cea mai înaltă categorie. În total, 50% dintre ouă primesc cea mai înaltă categorie. Găsiți probabilitatea ca un ou achiziționat de la această firmă agricolă să vină de la prima fermă.

Să notăm:

x1 – numărul de ouă dintr-o fermă.

x2 – numărul de ouă din 2 ferme.

Numărul total de ouă y = x1 + x2

Apoi:

0,55x1 + 0,45x2 = 0,5y

0,45x1 + 0,55x2 = 0,5y

Scădeți a doua din prima ecuație:

0,1x1 – 0,1x2 = 0

Prin urmare x1 = x2, i.e. Ambele ferme produc același număr de ouă, deci probabilitatea necesară este de 0,5.

16. Probabilitatea ca un nou computer personal să dureze mai mult de un an este de 0,9. Probabilitatea ca acesta să dureze mai mult de doi ani este de 0,83. Găsiți probabilitatea ca acesta să dureze mai puțin de doi ani, dar mai mult de un an.

17. Camera este iluminată de un felinar cu trei lămpi. Probabilitatea ca o lampă să se ardă într-un an este de 0,23. Găsiți probabilitatea ca cel puțin o lampă să nu se ardă în timpul anului.

Să aflăm probabilitatea evenimentului opus - toate cele trei lămpi se vor arde într-un an.

Apoi probabilitatea evenimentului opus (cel puțin o lampă nu se stinge)

18. Un biatlet trage în ținte de 8 ori. Probabilitatea de a lovi ținta cu o singură lovitură este de 0,5. Găsiți probabilitatea ca biatletul să lovească ținta primele 4 ori și să rateze ultimele 4 ori. Rotunjiți rezultatul la sutimi.

Există probleme cu rotunjirea la cea mai apropiată sutime...

19. Într-un centru comercial, două aparate identice vând cafea. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,16. Găsiți probabilitatea ca la sfârșitul zilei să rămână cafea în ambele aparate.

Probabilitatea ca al doilea aparat să nu fi rămas fără cafea

Probabilitatea este ca până la sfârșitul zilei să rămână cafea în ambele aparate.

0.327

20. La un examen de geometrie, un student primește o întrebare din lista de întrebări de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare de trigonometrie este de 0,3. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare cu cerc înscris este de 0,25. Nu există întrebări care se referă simultan la aceste două subiecte. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.

Rezultă din condiția că prezența unei întrebări pe unul dintre subiectele denumite este un eveniment incompatibil cu prezența unei întrebări pe al doilea subiect, prin urmare

21. Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 35% din acești ochelari, a doua - 65%. Prima fabrică produce 4% sticlă defecte, iar a doua – 2%. Găsiți probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să fie defectă.

O linie automată produce baterii probabilitatea ca o baterie finită să fie defectă este de 0,02. Înainte ca bateria să fie ambalată, aceasta trece printr-un sistem de control al calității. Șansa ca sistemul să găsească o sursă de energie care nu funcționează este de 0,99. Permisiunea de a arunca o baterie funcțională în coșul de gunoi este de 0,01. Găsiți probabilitatea ca o baterie aleasă aleatoriu să fie defectă.

Răspunsul la problemă și soluția ei

Pot exista 2 rezultate:

1. Bateria este stricata si sistemul nu o lasa sa treaca
2. Sursa de alimentare este intactă, dar sistemul o respinge

Probabilitatea primului caz este P1=0,02*0,99

Acceptabilitatea celui de-al doilea rezultat este P2=(1-0,02)*0,01

Ca urmare, șansa dorită va fi astfel:

P=P1+P2=0,02*0,99+0,98*0,01

Р=0,0198+0,0098=0,0296

Ca rezultat, probabilitatea este 0,0296

Rezolvarea problemei pe video

Acest videoclip explică în detaliu cum puteți rezolva această problemă în diferite moduri. Prin urmare, dacă aveți timp, vă sfătuim să îl urmăriți. Durata videoclipului YouTube este de 6 minute. Dacă timpul este scurt, atunci pur și simplu utilizați soluția descrisă mai sus.

Există mai multe sarcini similare, dar principiul este același, trebuie doar să înlocuiți numerele.

Recent, mi-au cerut să ajut la rezolvarea a două probleme de teoria probabilităților de la examenul de stat unificat la matematică. Am încercat să aflu motivele dificultății și am ajuns la concluzia că dificultățile apar din cauza lipsei manualelor, deși acest lucru este greu de crezut, și din cauza nefamiliarizării cu însuși subiectul teoriei probabilităților. Oricum ar fi, mai trebuie să înveți cum să rezolvi probleme în teoria probabilității folosind probleme specifice. Mai mult, în Unified State Exam există cel mai probabil doar acest tip de sarcină. Cred că nu există dificultăți în înțelegerea unor concepte precum eveniment, probabilitate, suma probabilităților evenimentelor independente. Dar este dificil să evidențiați evenimentele, să definiți ipoteze și să sortați totul în bucăți. Dar o dată sau de două ori aruncați o privire atentă asupra soluției gata făcute pentru o anumită problemă și devine clar că, în esență, aceste probleme sunt destul de simple și parțial formulate și, cel mai important, sunt interesante și vitale. Atunci poate doriți să rezolvați mai multe astfel de probleme pentru a câștiga mai multe puncte la examen, dar, din păcate, vor fi doar 2 dintre ele, cel mai probabil, și doar în secțiunea B.

Ei bine, să trecem la sarcini.

Problema 1. Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca în autobuz să fie mai puțin de douăzeci de pasageri este de 0,94. Probabilitatea ca să fie mai puțin de cincisprezece pasageri este de 0,56. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri din autobuz să fie de la cincisprezece până la nouăsprezece persoane.

Luați în considerare o variabilă aleatorie x – numărul de pasageri din autobuz. Atunci condițiile problemei vor fi scrise ca P(x≤19)=0,94, P(x≤14)=0,56. Și probabilitatea dorită va fi P(14

Răspuns: 0,38.

De ce, cineva se întreabă, scriu P(x≤19) și nu P(x<20) = 0,94. Дело в том, что есть понятие функции распределения F(a)=P(x≤a) и имеется известная формула P(a

Prin urmare, vom explica pur și simplu soluția acestui tip de problemă folosind concepte elementare. Deci, să fie evenimentul A că mai puțin de 20 de persoane au decis să ia autobuzul, adică. P(A) = 0,94. Evenimentul B – sunt mai puțin de 15 pasageri în autobuz și, prin urmare, P(B) = 0,56. Evenimentul C – există 15 până la 19 pasageri în autobuz și trebuie să calculați probabilitatea acestui eveniment P(C). Dar evenimentele B și C împreună (trebuie spus, o uniune de evenimente) constituie evenimentul A și nu se intersectează, adică. evenimentele B și C nu pot avea loc împreună. Prin urmare avem, P(A)=P(B)+P(C), de unde P(C) = P(A) - P(B) = 0,94 - 0,56 = 0,38.

Sarcina 2. O linie automată produce baterii. Probabilitatea ca o baterie finită să fie defectă este de 0,03. Înainte de ambalare, fiecare baterie trece printr-un sistem de control. Probabilitatea ca sistemul să respingă o baterie defectă este de 0,95. Probabilitatea ca sistemul să respingă din greșeală o baterie funcțională este de 0,04. Găsiți probabilitatea ca o baterie fabricată selectată aleatoriu să fie respinsă de sistem.

Să notăm evenimentele:

A – bateria selectată este defectă.

B – bateria selectată funcționează.

C – sistemul de control a respins bateria.

Evenimentele A și B reprezintă un sistem complet, adică la alegerea unei baterii, unul dintre evenimentele A sau B va avea loc în mod necesar Iar după control, evenimentul C se poate produce pe fundalul fie al evenimentului A, fie al evenimentului B, sau cu alte cuvinte, la implementarea ipotezei executarea evenimentului A sau a unei alte ipoteze, care este că bateria selectată a fost bună (evenimentul B).

Aplicând formula probabilității totale, obținem probabilitatea dorită pentru evenimentul C:

Р(С) = Р(А)Р(С/А) + Р(В)Р(С/В) = 0,03×0,95 + 0,97×0,04 = 0,0673

Aici probabilitatea evenimentului B se calculează ca P(B) = 1 – P(A) = 1 – 0,03 = 0,97.

Răspuns: 0,0673.

Vreau să ofer o altă linie de raționament, care, în opinia mea, poate ajuta la rezolvarea acestei probleme pentru acei elevi sau profesori care nu pot citi manualul din cauza absenței sale sau nu înțeleg formula probabilității complete.

Vă puteți imagina că există 100 de baterii fabricate, dintre care 3 nu funcționează, iar 97 funcționează. Și astfel toate aceste baterii au fost trimise pentru control. Este clar că un sistem de trei baterii defecte va respinge 3 × 0,95 = 2,85 bucăți. Ca să nu fim șocați de numărul fracționar de piese, considerăm nu 100 de baterii, ci de 100 de ori mai multe, adică. 1000, dintre care 300 sunt defecte și 9.700 sunt operaționale. Din 300 de defecte, sistemul va respinge 285 și din 9700 de funcționale, 388 vor fi respinse, iar sistemul nu va rata 285 + 388 = 673 din 10.000 Și de aici putem obține cu ușurință același răspuns prin împărțire 673 cu 10.000.

În principiu, este suficient să stăpânești aceste două tipuri de sarcini pentru a adăuga avantajele atât de necesare pentru promovarea cu succes a acestui Examen Unificat de Stat „TERIBIL”. Poate că va mai fi vreo altă problemă pe un alt subiect din teoria probabilității, dar cred că nu va fi de nerezolvat pentru cei care „simt” soluția problemelor prezentate aici.